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Alexandre Boisseau Hélène Davaux Vincent Zoonekynd |
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Rappelons l'objet d'étude de la géométrie algébrique : On se donne un corps (algébriquement clos) k, une famille de polynômes (Pi) à n indéterminées et on s'intéresse à l'ensemble de ses zéros. C'est ce que l'on appelle une variété affine.
La théorie des modèles formalise cette notion de variété affine (j'endtends déjà les mauvaises langues : « comme si la géométrie algébrique avait besoin de cette bourbakisation supplémentaire ! »), que l'on pouura ensuite généraliser, par exemple en remplaçant les corps par des corps différentiels ou des corps réels.
Ce livre a pour but d'exposer une démonstration du théorème de périodicité de Bott dans les cas réel et complexe qui s'énonce ainsi :
| Théorème : Les classes d'homotopie stables des groupes classiques U(n) et O(n) sont périodiques, de période 2 dans le cas complexe, 8 dans le cas réel. |
Pour démontrer ce théorème de nature algébrique, il est surprenant de passer par des méthodes de géométrie différentielle, en particulier la théorie de Morse. Elle permet, connaissant une fonction sur une variété, de construire un complexe cellulaire de même type d'homotopie que la variété. Ceci est l'objet du premier chapitre. Pour poursuivre, l'auteur a besoin de résultats en géométrie riemannienne. Il développe ainsi la théorie des connexions, des géodésiques, etc ... (il en donne d'ailleur un exposé clair).
La vision que l'on a des mathématiques dans l'enseignement supérieur est un peu comparable à la vision que l'on aurait du monde en feuilletant un atlas : les territoires sont très détaillés, leurs frontières et leur relations très nettes, et on pourrait d'ailleurs croire (à tort sans doute) que ce caractère rigide et fixe favorise leur apprentissage. Pourtant, on sait bien, au moins inconsciemment, que les mathématiques n'ont pas toujours eu le visage qu'elle présentent aujourd'hui (et qu'elle ne le garderont probablement pas ind\'efiniment) mais on ne se rend pas toujours compte à quel point leur histoire est composée d'impasses, de doutes, de problèmes a priori insolubles surgissant au détour d'un chemin où on ne les attendait pas.
Ce livre est bien sûr un livre d'informatique puisqu'il traite de programmes, mais c'est pourtant également un livre mathématique, et ce à plus d'un titre. Tout d'abord dans la nature du sujet traité : le mathématicien étudie un certain domaine au moyen de la démarche mathématique. Ce domaine peut aussi bien être celui des objets géométriques ou celui des structures algébriques, ou bien les mathématiques elles-même si le mathématicien en question est un logicien ou n'importe quel autre domaine du moment que la modélisation et les techniques employées sont de nature mathématique. Ce n'est pas autre chose qui est fait ici, les objets étudiés sont simplement des programmes et on veut montrer que certains de ces programmes satisfont certaines propriétés, du genre :