Je souhaite donner une idée d'un problème que se posent les géomètres riemanniens en essayant de privilégier l'intuition quitte à perdre une part de la rigueur mathématique de l'exposé. Il s'agit de pouvoir décider si une variété peut ou non porter une métrique à courbure scalaire strictement positive.

Introduction à la géométrie riemannienne...

Les objets qui vont intéresser les géomètres riemanniens sont les variétés riemanniennes. Pour les lecteurs qui ne sont pas familiers des variétés différentielles, pensez à des surfaces de R³ (au sens commun du terme) et plus généralement, à des sous-ensembles de R^p qui ressemblent localement à Rⁿ (avec des recollements adequats de ses « Rⁿ » locaux) : nous dirons que ce sont des (sous-)variétés de dimension n (dans R^p). Les variétés de dimension 1 sont les courbes et celles de dimension 2 les surfaces (par exemple la sphère, le tore ...).

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