Tout un chacun manipule avec dextérité les polynômes à une indéterminée, mais demeure souvent perplexe dès que leur nombre augmente. Il s'agit simplement de « calcul algébrique » (computational algebra) dans un anneau de polynômes A = k[x₁,... , x_n] (qui est toujours factoriel mais plus principal si n>1). Voici quelques-uns des problèmes que l'on se pose, que l'on aimerait savoir résoudre.

• Comment savoir si un polynôme est dans un idéal donné ?
• Peut-on implémenter simplement les opérations d'addition et de multiplication dans un quotient A/I ?
• Peut-on savoir si un système d'équations polynômiales possède un nombre fini de solutions ? Peut-on trouver ces solutions ?
• Si une variété est donnée par une paramétrisation, peut-on en déduire une équation implicite ?

La théorie des ensembles est une théorie (ce mot a un sens très précis en logique) définie par un prédicat (la relation d'appartenance) et une liste d'axiomes. On croit fermement que cette théorie est non-contradictoire. De même, l'analyse non-standard (ANS) est une théorie définie par la même chose plus un autre prédicat, « standard » (qui nous dit si un ensemble, ou un élément d'un ensemble, est « standard » : les objets que l'on rencontre en mathématique sont standard, les autres, par exemple les infiniment petits, sont non-standard), et les trois axiomes suivants.

Un \emph{n\oe ud} est un plongement de S¹ dans R³ ou S³. Pour éviter les pathologies, comme une ficelle infiniment nouée, on se limite aux noeuds polygonaux. On identifiera deux noeuds « équivalents ». La somme connexe de deux noeuds est bien définie; réciproquement, on peut tenter d'écrire un noeud comme somme connexe de noeuds premiers, ie qui ne sont pas somme connexe de noeuds non triviaux. Une telle décomposition existe et est unique --- mais en général, on ne sait pas la calculer.