L'axiome du choix | ||
page précédente | Raphaël Bomboy |
Introduction
Le point de départ de cet article est, je crois, une question qui surgit lors d'une leçon d'agreg à laquelle je n'assistais pas. Rappelons qu'un anneau noethérien est un anneau dans lequel tout idéal est de type fini. Ce qui équivaut à dire que toute suite croissante d'idéaux de cet anneau est stationnaire. La question était : cette équivalence utilise-t-elle l'axiome du choix ? L'ouvrage (par ailleurs excellent) de Daniel Perrin [P], et par suite l'agrégatif au tableau ce jour là, affirmait que non. Eric Halberstadt fit remarquer que si et fut je crois mal compris. De là vient mon envie d'écrire cet article, article qui m'obligea à des investigations qui m'emmenèrent plus loin qu'initiallement prévu, et furent à l'origine de questions dont j'ignore encore la réponse (si quelqu'un sait quelque chose à ce sujet...).L'essentiel de ce qui va suivre vient de mes discussions avec Eric Jaligot, Maurice Pouzet et mes collègues agrégatifs, qu'ils en soient remerciés. Au fait, quel est le lien de tout ceci avec le lemme de Baire ? Patience, j'y reviendrai.