Il existe deux façons de se rendre célèbre en maths : la première est de résoudre des problèmes intéressants, la seconde est d'en poser. C'est tout un art de trouver un problème qui n'est pas trivial, mais qui semble faisable et dont on peut montrer l'intérêt. C'est aussi un commerce pour certains matheux comme Erdös, « le monarque des poseurs de problème », qui proposait toujours des primes à la résolution (ou des bouteilles de Jack Daniels).

Bref ce que je me propose de faire ici est à mi-chemin, et même pas très glorieux puisqu'il s'agit de montrer l'équivalence de deux problèmes. Le problème de départ hante l'ENS depuis trois ans « périodiquement » : la densité de (n sin(n)) dans R. On voit évidemment que ce problème est proche de celui, taupinard, de la densité de (sin n) dans [-1,1]. C'est en toute logique que la légende en situe donc l'origine à mon année d'agreg et quelques-uns d'entre nous - dont nous tairons le nom pour préserver la crédibilité mathématique - ont passé de belles heures sur des démonstrations farfelues (à coups de valeur absolue strictement négative (sic !)). Bref le temps passait et comme personne n'avait pris ce problème en sujet de recherche rien n'avançait bien vite. Mais au hasard de lectures diverses, je me suis finalement fait quelques réflexions que je me propose de résumer ici.

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