L'un d'eux, leur propre prophète, l'a dit :
Crétois, toujours menteurs, méchantes bêtes, coeurs blasés.
Saint Paul, Nouveau Testament, Epître à Tite (I,12)
Qu'est-ce qu'un paradoxe ? Ou plutôt, qu'est-ce qu'un paradoxe en
mathématiques ? On peut en fait accorder à ce mot deux sens différents.
Tout d'abord un paradoxe peut simplement être un résultat qui va
à l'encontre de l'intuition. On peut citer par exemple le paradoxe de
Banach-Tarski : il est possible de partitionner une boule en un
nombre fini de morceaux puis de les réassembler différemment afin
d'obtenir deux boules de même volume que la première. Un tel paradoxe
met en relief certaines différences entre le monde mathématique, idéal
sous certains aspects, et le monde réel. Un paradoxe peut
également être un résultat qui s'avère être à la fois vrai et faux. Dans
la plupart des cas, ceci intervient au cours d'un
raisonnement par l'absurde et permet en fait de montrer que l'une des
hypothèses faites est fausse. Plus rarement, les seules hypothèses sont
celles communément admises et un tel cas de figure oblige à reconsidérer
la théorie mathématique utilisée. Ce sont de tels
paradoxes que nous nous proposons d'évoquer dans ce qui suit. Plus
précisément, nous allons nous concentrer sur l'un deux, le paradoxe du
menteur, et nous laisser guider par ses différentes applications,
oscillant entre fondements des mathématiques et informatique. Avant
d'entrer dans le vif du sujet, signalons que cet article a été rédigé
suite à la lecture de [D] que l'on ne peut que
conseiller à chacun, logicien ou non.
[...]
[D] Gilles Dowek, La logique, Domino,
Flammarion, 1995.
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Les bienfaits
d'Épiménide